Προθερμαίνουμε σε δυνατή φωτιά ένα τηγάνι με ελαιόλαδο. Ρίχνουμε τον κιμά και σοτάρουμε για περίπου 4 λεπτά, σπάζοντάς τον με μία ξύλινη κουτάλα σε μικρά κομμάτια. Ψιλοκόβουμε το κρεμμύδι, το προσθέτουμε στον κιμά και συνεχίζουμε το σοτάρισμα για ακόμη 5 λεπτά. Ρίχνουμε αλάτι και πιπέρι και μόλις πάρει ωραίο χρώμα ο κιμάς, τον αφαιρούμε από τη φωτιά.

Κόβουμε τα ψωμάκια στη μέση και βάζουμε το κάτω μέρος τους σε ένα ορθογώνιο ταψί 23×33 εκ. Αλείφουμε τα ψωμάκια που έχουμε κόψει με την μισή ποσότητα από το λιωμένο βούτυρο. Απλώνουμε την Κετσαπομαγιονέζα ομοιόμορφα, καλύπτουμε με 6 φέτες τσένταρ, προσθέτουμε τον κιμά και τα αγγουράκια τουρσί. Τοποθετούμε τις υπόλοιπες 6 φέτες τσένταρ από πάνω και κλείνουμε με τα καπάκια των ψωμιών, σχηματίζοντας τα μίνι μπέργκερ.

Αλείφουμε παντού με το υπόλοιπο λιωμένο βούτυρο, πασπαλίζουμε με το σουσάμι και ψήνουμε για 15 λεπτά στον φούρνο. Βγάζουμε τα μίνι μπέργκερ από τον φούρνο και όσο είναι ακόμα ζεστά, τα βουτάμε σε λίγη επιπλέον Κετσαπομαγιονέζα.

Κόβουμε όλα τα υλικά για τη σαλάτα (εκτός από τα αυγά), τα τοποθετούμε σε ένα μεγάλο μπολ ή μια σαλατιέρα και ανακατεύουμε προσεκτικά.

Προσθέτουμε την κετσαπομαγιονέζα και ανακατεύουμε καλά.

Τοποθετούμε όμορφα τα αυγά από πάνω, πασπαλίζουμε με λίγη επιπλέον κετσαπομαγιονέζα και τριμμένο καρότο, και σερβίρουμε.